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描述迦罗瓦理论
[可克] [2019-2-2 17:10:43] 有用(0) 垃圾(0) 我有高见  不良信息举报

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伽罗瓦理论是用群论的方法来研究代数方程的解的理论。在19世纪末以前,解方程一直是代数学的中心问题。早在古巴比伦时代,人们就会解二次方程。在许多情况下,求解的方法就相当于给出解的公式。但是自觉地、系统地研究二次方程的一般解法并得到解的公式,是在公元9世纪的事。三次、四次方程的解法直到16世纪上半叶才得到。从此以后、数学家们转向求解五次以上的方程。伽罗瓦的思想对代数学的发展起了决定性的影响,其影响几乎长达整整一个世纪。

基本内容

域的正规可分扩张定义为伽罗瓦扩张。

若k/f为伽罗瓦扩张,k上的f-自同构的集合构成一个群,定义为伽罗瓦群,记为gal(k/f)。

对于h是gal(k/f)的子群,称k中在h中任意元素作用下不动元的集合为h的不动域,这是一个中间域。

对于伽罗瓦扩张,扩张的中间域和伽罗瓦群的子群有一一对应的关系。

f?e?k形式的伽罗瓦扩张,e/f是正规扩张当且仅当gal(k/e)是gal(k/f)的正规子群。

在特征为0的域上,多项式的根可用根式解当且仅当其分裂域扩张的伽罗瓦群是可解群。

广义上的伽罗瓦理论还包括尺规作图,诺特方程,循环扩张,库默尔理论等内容。

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